En estas actividades en donde utilizaremos un geoplano consistió en el calculo de diferentes áreas con figuras tanto regulares como de irregulares y el objetivo que se busca al realizar estas actividades es que los alumnos puedan llegar a deducir el algoritmo como es el Teorema de Pick.
Las actividades que se realizaron:
1.Primera actividad consistió en la construcción de una figura regular y una irregular para que ellos buscaran un método para de como calcular el área de dichas figuras.
2.Segunda actividad fue que realizaran la construcción de figuras irregulares con ciertas características que se mencionaran mas adelante.
Estas dos actividades se realizaron con un grupo de 20 alumnos las cuales se dividió en tres sesiones de 2 horas, haciendo grupos de 3 personas y uno grupo de 2 personas a cada equipo se le proporcionó un geoplano de plástico y unas ligas.
PRIMERA ACTIVIDAD
En esta actividad se les pidió que formaran una figura regular y otra completamente irregular con las ligas en el geoplano, después se les pidió que calcularan el área de las dos figuras claro explicándoles con anterioridad cual seria su unidad cuadrada en el geoplano.
Para calcular el área de su figura regular que formaron no tuvieron mucho problema. Pero cuando empezaron a calcular el área de la figura irregular surgieron muchas dudas las cuales fueron resolvieron al encontrar los siguientes tres métodos :
1.El primero fue pasar su figura formada en el geoplano a una hoja cuadriculada y de ahí fueron contando las unidades cuadradas enteras que había dentro de la figura ademas de darse cuenta que podrían formar triángulos los cuales sombrearon para distinguirlos mejor y para obtener el área total sumaron las unidades cuadradas completas con las áreas de los triángulos sombreados como se muestra en la figura:
2. El segundo fue que encima de la figura irregular colocaron otras ligas formando figuras regulares las cuales podrían calcular fácilmente su área y al sumarlas obtendrían el área de su figura original como se muestra en la figura:
3. El tercero fue encerrar la figura en un rectángulo (que en algunos casos fue cuadrado) y al área total del rectángulo le restaron las áreas que hay entre los lados del rectángulo y los de la figura encerrada así obtuvieron su
área deseada. Ejemplo:
Después cada uno de los equipos realizo los tres métodos para corroborar sus resultados ademas de ver si con estas tres formas se puede obtener un área irregular lo cual pudieron comprobar y concluyeron lo siguiente:
“Cualquier figura que se construya en el geoplano se puede calcular el área”
SEGUNDA ACTIVIDAD
En esta actividad se les pidió a cada equipo lo siguiente:
Primer Equipo: Que construyeran varias figuras irregulares que tuvieran tres puntos alrededor (periferia), 0,1,2,3,4 puntos dentro respectivamente y que calcularan el área de dichas figuras.
Segundo Equipo: Que construyeran varias figuras irregulares que tuvieran cuatro puntos alrededor (periferia), 0,1,2,3,4 puntos dentro respectivamente y que calcularan el área de dichas figuras.
Tercer Equipo: Que construyeran varias figuras irregulares que tuvieran cinco puntos alrededor (periferia), 0,1,2,3,4 puntos dentro respectivamente y que calcularan el área de dichas figuras.
Cuarto Equipo: Que construyeran varias figuras irregulares que tuvieran seis puntos alrededor (periferia), 0,1,2,3,4 puntos dentro respectivamente y que calcularan el área de dichas figuras.
Quinto Equipo: Que construyeran varias figuras irregulares que tuvieran siete puntos alrededor (periferia), 0,1,2,3,4 puntos dentro respectivamente y que calcularan el área de dichas figuras.
Sexto Equipo: Que construyeran varias figuras irregulares que tuvieran ocho puntos alrededor (periferia), 0,1,2,3,4 puntos dentro respectivamente y que calcularan el área de dichas figuras.
Séptimo Equipo: Que construyeran varias figuras irregulares que tuvieran nueve puntos alrededor (periferia), 0,1,2,3,4 puntos dentro respectivamente y que calcularan el área de dichas figuras.
Después de calcular todas las áreas de la figuras pedidas realizamos una tabla en el pizarrón la cual fuimos llenando y quedo de la siguiente forma:
PUNTOS DENTRO DE LA FIGURA 
Al realizar la tabla los alumnos empezaron a decir lo que observaban y fue lo siguiente:
El área mas pequeña de una figura en el geoplano dado es 0.5.
El área mayor va a depender del tamaño del geoplano que estemos manejando.
Que al ir ampliando la figura con puntos en la periferia y conservando el número de puntos dentro de esta, el área va aumentando pero de una forma regular que es media unidad cuadrada por punto añadido en la periferia.
Si mantenemos fijos los puntos de la periferia y vamos aumentando a los puntos dentro de la figura el área va creciendo una unidad cuadrada por punto dentro de la figura.
Esta fue la parte interesante ya que los alumnos se cuestionaron lo siguiente:¿Como es que podrían expresar de mejor manera lo que ellos iban deduciendo? A lo que ellos se contestaron que debía haber una relación o expresión matemática por lo que ellos empezaron a expresar sus propias ideas en su cuaderno y esto fue un reto de alguna forma para ellos ya que si encontraban una expresión matemática con relación a los puntos de la periferia y los puntos dentro podían calcular mas fácilmente cualquier figura en el geoplano.
Una de los equipos propuso la siguiente tabla
PUNTOS DENTRO DE LA FIGURA
Bueno donde n para ellos era el numero de figura y m los puntos dentro de la figura y obtuvieron la expresión de matemática para cada columna y fila lo que les costo trabajo, deducir fue justamente la mezcla de las dos expresiones matemática o en su caso como podrían juntarlos para hacer solo una por lo cual entre todos construir otra tabla en la cual solo relacionáramos a los puntos de la periferia y a los puntos dentro de la figura y obtuvimos lo siguiente tabla:
PUNTOS DENTRO DE LA FIGURA
En esta tabla ya encontramos la s expresiones algebraicas de cada columna y fila pero ahora teníamos que se representaba a los puntos fuera y m a los de dentro.
Y después de hacer los cálculos necesarios llegamos ala siguiente expresión:
s/2 + m -1 =A
Posteriormente ellos comprobaron esta expresión al obtener el área de diferentes figura utilizando la expresión anterior.
Finalmente les dije quien había de creado este expresión matemática y que era un teorema.
Las conclusiones que puedo escribir acerca de realizar estas actividades es que a los alumnos se les despertó mas el interés por las matemáticas ademas de que éstas en realidad no son un problema si no que les facilita la resolución de uno siempre y cuando se lleve un análisis adecuado, claro que para ellos llegara esto tuvieron que experimentarlo en el geoplano.
Otra de las conclusiones a la que llegué es que el profesor debe ir los guiando correctamente para que ellos no se pierdan.
